PROGRAMACIÓN
LINEAL.
La
programación matemática es una potente técnica de modelado usada en el proceso
de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la
primera etapa consiste en identificar las posibles decisiones que pueden
tomarse; esto lleva a identificar las variables del problema concreto.
Normalmente, las variables son de carácter cuantitativo y se buscan los valores
que optimizan el objetivo. La segunda etapa supone determinar que decisiones
resultan admisibles; esto conduce a un conjunto de restricciones que se
determinan teniendo presente la naturaleza del problema en cuestión. En la
tercera etapa, se calcula el coste/beneficio asociado a cada decisión
admisible; esto supone determinar una función objetivo que asigna, a cada
conjunto posible de valores para las variables que determinan una decisión, un
valor de coste/beneficio. El conjunto de todos estos elementos define el
problema de optimización. La programación lineal (PL), que trata exclusivamente
con funciones objetivos y restricciones lineales, es una parte de la
programación matemática, y una de las áreas más importantes de la matemática
aplicada. Se utiliza en campos como la ingeniería, la economía, la gestión, y
muchas otras áreas de la ciencia, la técnica y la industria.
Introducción:
La programación lineal es
una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los
administradores de producción y operaciones en la planeación y toma de
decisiones relativas a la negociación necesaria para asignar recursos.
Aplicación:
a partir de 1950 se inicia
un fuerte desarrollo en la programación lineal apoyada por una gran variedad de
aplicaciones prácticas en la economía y la administración industrial.
Principales problemas: Algunos de los principales problemas que han sido establecidos en base la programación lineal, así como sus áreas de aplicación son los siguientes:
Principales problemas: Algunos de los principales problemas que han sido establecidos en base la programación lineal, así como sus áreas de aplicación son los siguientes:
1).−
La selección de la mezcla
de productos es una fábrica para tomar el mejor uso de las horas disponibles de
la maquinaria y mano de obra, mientras se maximiza la utilidad de la empresa. 2).−
La selección de diferentes mezclas de materias primas en los molinos de
comida para producir combinaciones de alimentos terminados al mínimo costo.
3).−
Otros como pueden ser de
relaciones ínter industriales (modelos de Lentieff, análisis económico),
problemas de tránsito (industria de transportes y aviación) ETC. La
programación lineal resuelve los problemas en términos de un conjunto de
ecuaciones lineales y una ecuación también lineal llamada función objetivo,
que cuantifica el beneficio proporcionado por la solución del conjunto de
ecuaciones lineales que corresponden a las restricciones.
Es una
clase de modelo de programación matemática destinado a la asignación eficiente
de los recursos limitados en actividades conocidas, con motivos de satisfacer
las metas deseadas (maximizar beneficios y minimizar costos).
Las
características distintivas de los modelos de programación lineal es que las
funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales.
Definición:
La programación lineal es
una herramienta matemática que sirve para resolver de la mejor manera posible
sistema de Asignación en los que la problemática consiste en asignar recursos
escasos y limitados entre actividades competitivas y cuando desde el punto de
vista matemático las relaciones entre los elementos del sistema sean
estrictamente lineales.
Ejemplo 1
(Planeación
de producción)
Maximización
de utilidades
Se procesan
3 productos a través de 3 operaciones diferentes. Los tiempos en minutos
requeridos por unidad de cada producto, la capacidad diaria de las operaciones
(minutos/días) y el beneficio por unidad vendida de cada producto en dólares.
Operación
|
Tiempo/unidad (min)
|
Capacidad de
Operación (min/día)
|
||
Producto A
|
Producto B
|
Producto C
|
||
1
|
1
|
2
|
1
|
430
|
2
|
3
|
0
|
2
|
460
|
3
|
1
|
4
|
0
|
420
|
Beneficio/Unidad
($)
|
$3.00
|
$2.00
|
$5.00
|
|
DESARROLLO
A) V(x) de Decisión
X1
= Cantidad de producto “A” a producir.
X2
= Cantidad de producto “B” a producir
X3
= Cantidad de producto “C” a producir
B)
FO
Max X0 = 3X1 + 2X2
+ 5X3
C)
SA
Operación 1
-------------- 1X1 + 2X2
+ 1X3 ≤ 430
Operación 2
-------------- 3X1 + 3X3
460
Operación
3 -------------- 1X1 + 4X2 ≤ 420
NN
X1, X2, X3 ≥ 0
Ejercicio # 2
Un
ganadero se encuentra ante el problema de como alimentar su ganado vacuno al
costo mínimo, pero satisfaciendo determinados requisitos dietéticos de
alimentación.
Una
dieta normal para la clase de vaca lechera que existen en la granja, requiere
por cabeza diariamente los siguientes elementos nutritivos, por lo menos en las
cantidades siguientes:
12,450
gr ND (nutrientes digestibles)
2,400 gr PC
72 gr Calcio
57 gr P
Para
la alimentación del ganado puede disponerse únicamente de 4 alimentos, Pasto
Bermuda(PB), Levadura Cerveza (LC), Harina Ajonjolí (HA), Miel de Purga (MP),
que contiene en diversas proporciones los alimentos exigidos por la dieta.
Elementos Nutritivos (gr)
|
Alimentos 1(kg)
|
Requisitos mínimos al día(grs)
|
|||
PB
|
LC
|
HA
|
MP
|
||
ND
|
169
|
728
|
713
|
537
|
12,450
|
PC
|
14
|
63
|
39
|
30
|
2,400
|
Ca
|
1.4
|
1.3
|
20.2
|
6.6
|
72
|
P
|
0.5
|
15.6
|
16.1
|
0.8
|
57
|
Costo/kg
($)
|
0.06
|
0.25
|
0.30
|
0.20
|
|
De
cuales alimentos y en qué cantidades deben darse a cada cabeza de ganado
diariamente para satisfacer requisitos de dieta.
DESARROLLO
A) V(x) DE DECISIÓN FORMULE EL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL QUE MEJOR LO REPRESENTE
X1
= N° DE KGS. A COMPRAR DE PB AL DÍA.
X2 =
N° DE KGS. A COMPRAR DE LC AL DÍA.
X3
= N° DE KGS. A COMPRAR DE HA AL DÍA.
X4
= N° DE KGS. A COMPRAR DE MP AL DÍA.
B) FO
Min Xo = 0.06X1 + 0.25X2 +
0.30X3 + 0.20X4
C)SA
169X1
+ 728X2 + 713X3 + 537X4 ≥ 12,450
14X1
+ 63X2 + 39X3 + 30X4 ≥
2,400
1.4X1
+ 1.3X2 + 20.2X3 + 6.6X4 ≥
72
0.5X1
+ 15.6X2 + 16.1X3 + 0.8X4 ≥
57
NN X1, X2,
X3, X4 ≥ 0
EJERCICIO #
3
Se prepara
una dieta para estudiante de universidad. El objetivo es alimentas a los
estudiantes al menor costo, pero la dieta debe estar entre 1,800-3,600
calorías. No puede haber más de 1,400 calorías de almidones ni menos de 400
proteínas, así como no más de 150 calorías de grasa. La dieta se compondrá de
dos alimentos A y B.
El alimento
A cuesta $1.50 cada libra y contiene 600 calorías, 400 de los cuales son
proteínas y 200 de almidones.
El alimento
B cuesta $0.30 cada libra y contiene 900 calorías de las cuales 700 son
almidones y 100 proteínas y 100 grasas.
Formule el
modelo matemático de programación lineal más adecuado.
DESARROLLO
A) V(x) DE
DECISIÓN
X1
= N° Lbs ALIMENTO “A”
X2
= N° Lbs ALIMENTO “B”
B) FO Min
Xo = 1.5X1 + 0.30 X2
C) SA
X1 + X2 ≥ 1,800
X1 + X2 ≤ 3,600
ALMIDONES 200 X1 + 700 X2
≤ 1,400
PROTEINAS 400 X1 + 100X2 ≥
400
GRASAS 100X2 ≤
150
NN X1, X2 ≥ 0
EJERCICIO # 4
Una empresa de carga dispone de un
avión con las siguientes capacidades máximas de carga al frente y atrás.
Adelante 500 kg capacidad un área 30m3
Atrás 700 kg capacidad un área de 40 m3
Deben transportarse dos tipos de carga
1 y 2 las cuales se venderán a:
Carga 1
---------- $2.00/ unidad
Carga 2
---------- $3.00/ unidad
La demanda
mínima de carga 1 es de 6,000 unidades
La demanda
mínima de carga 2 es de 7,000 unidades
Cada unidad
de la carga 1 ocupa 2dm3
Cada unidad
de la carga 2 ocupa 1dm3
El peso de
la carga 1 es de 1kg
El peso de
la carga 2 es de 2kg
Formular el
modelo matemático de programación lineal más adecuado.
Cuanto
enviar de carga 1 y 2 de tal manera de maximizar las ventas.
A)
V(x) DE DECISIÓN.
Xij de cantidad de carga tipo (1,2) en
la bodega (FA)
X1f
=
X2f
=
X1A
=
X2A
=
B) FO
Max Xo = 2 (X1 F + X1A) +
3 (X2F + X2A)
C) SA
DEMANDA ------------ X1F + X1A
≥ 6,000
X2F
+ X2A ≥ 7,000
VOLUMEN
------------ 0.2 X1F + 0.1 X2A ≤ 30
0.2
X1A + 0.1 X2A ≤ 40
PESO -------------------- 1 X1F
+ 1 X2F ≤ 5,000
1 X2F
+ 1 X2F ≤ 7,000
NN Xij ≥ 0 V
i= 1,2 Vj
= F,A
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